6.7 שיטת מתחי צמתים
(The node voltage method)
נוכחנו לראות שלשיטת זרמי חוגים יתרונות רבים בפתרון של רשתות. ועם זאת, לא מומלץ לפתור באמצעות שיטת זרמי חוגים רשתות שמכילות מספר רב של חוגים, שכן, בהתאמה, יהיו גם מספר רב של משוואות ונעלמים.
נוסף לכך, מומלץ לא לפתור בשיטת זרמי חוגים, רשת שמכילה מספר רב של מקורות זרם, שכן כתוצאה ממספר רב של המרות, נקבל מעגל שמכיל רובו רכיבים שאינם רכיבים מקוריים.
יש עוד שיטה לפתרון של מעגלים, שיטה שבמקרים מסוימים מתגברת על חסרונותיה של שיטת זרמי החוגים. בשיטה חדשה זו, הנקראת בשם "שיטת מתחי צמתים", אין צורך לבצע המרה למקורות הזרם וכמו כן מספר המשוואות לפתרון אינו תלוי במספר חוגי המעגל.
על פי שיטה זו, מספר המשוואות שיש לרשום תלוי במספר צומתי המעגל. על פי שיטה זו, יש לקבוע צומת אחד כצומת הייחוס במעגל, כאשר ומטרת השיטה היא למצוא את המתח בשאר הצמתים ביחס לצומת הייחוס שנקבע. מספר המשוואות (ובכך גם מספר הנעלמים) תלוי במספר הצמתים שאין אנו יודעים בהם את המתח ביחס לצומת הייחוס.
כדי להבין את העיקרון בשיטת מתחי צמתים, ננתח את שלוש הדוגמאות שלפנינו.
דוגמה ראשונה
נתון קטע ממעגל שבו התקבלו המדידות האלה: UX=10v ; UY=4v
הזרם דרך הנגד עובר מנקודה X לנקודה Y:
היה אפשר גם לחשב את הזרם בהנחה שהוא זורם מנקודה Y לנקודה X:
כלומר הזרם אכן זורם מנקודה X לנקודה Y.
דוגמה שנייה
נתון קטע ממעגל שבו התקבלו המדידות האלה: UX=10v ; UY=4v
את הזרם נחשב דרך חוק אום:
כיוון הזרם דרך הנגד הוא מנקודה X לנקודה Y.
היה אפשר גם לחשב את הזרם בהנחה שהוא זורם מנקודה Y לנקודה X:
את עצמת הזרם נחשב כך:
התוצאה שהתקבלה מראה שהזרם אכן זורם מנקודה X לנקודה Y.
דוגמה שלישית
נתון קטע ממעגל שבו התקבלו המדידות האלה: UX=10v ; UY=4v
כלומר, המתח על הנגד R הוא תמיד הפרש המתח בין אותן שתי נקודות (על פי כיוון הזרם אפשר לקבוע מהו הפוטנציאל הגבוה ומהו הנמוך) בתוספת או בחיסור של מקור המתח. אם הוא "עוזר" לזרם יש לרשום אותו עם קוטביות חיובית, וָלא, אם הוא "מתנגד" לזרם יש לרשום אותו עם קוטביות שלילית.
את עצמת הזרם נחשב כך:
ככל שנגדיל את מקור המתח, כן עצמת הזרם תקטן (כי הוא מתנגד לזרם). יש שלב שבו העצמה מתאפסת, כשמתח המקור הוא שישה וולט. כשמתח המקור יהיה גבוה משישה וולט בדוגמה זו, יתהפך כיוון הזרם והוא יזרום מנקודה Y לנקודה X.
כדי להבין את העיקרון בשיטת מתחי צמתים, נתבונן במעגל שבאיור 6.47:
איור 6.47
ראשית עלינו לבדוק אם אפשר לאחד צמתים. אחרי איחוד אפשר להציג מעגל הכולל רק שני צמתים כמתואר באיור 6.48
נבדוק מהו הפוטנציאל בכל צומת ביחס לצומת הייחוס:
המתח בנקודה Y ביחס לצומת הייחוס ידוע ושווה אפס וולט. לעומתו המתח בצומת X ביחס לצומת הייחוס אינו ידוע. לכן, בתרגיל זה יש נעלם אחד (המתח בצומת X), כלומר יש לבנות משוואה אחת בלבד לפתרון.
יש לקבוע, באופן שרירותי, את הזרמים שנכנסים או יוצאים בצמתים שאין אנו יודעים את המתח בהם, ביחס לצומת הייחוס.
איור 6.49
נרשום את חוק הזרמים של קירכהוף בעבור אותם זרמים שאין אנו יודעים בהם את המתח.
בעבור צומת A מתקיים:
כעת נבטא את כל אחד מן הזרמים כתלות במתחי הצמתים, על בסיס אותן שלוש דוגמאות שהוצגו בתחילת תת הפרק 6.6.
הזרם I1 לפי הכיוון השרירותי שבחרנו זורם מנקודה Y לנקודה X, לכן (ראו דוגמה שנייה כעזר לבניית המשוואה):
באופן דומה, הזרם I2 זורם מנקודה X לנקודה Y, לכן (ראו איור 6.48 כעזר לבניית המשוואה):
הזרם I3 שבעבורו קבענו שהוא זורם מנקודה X לנקודה Y, לכן (ראו איור 6.48 כעזר לבניית המשוואה):
הזרם I4, כפי שקבענו באופן שרירותי, זורם מנקודה X לנקודה Y, לכן (ראו איור 6.48 כעזר לבניית המשוואה):
נשתמש במשוואת קירכהוף לזרמים ונרשום את סכום הזרמים בצומת X:
התקבלה משוואה עם נעלם אחד ובעזרתה אפשר לחשב את הפוטנציאל XU. כאמור, זוהי בעצם מטרתה של שיטת מתחי צמתים.
בפתרון של מערכת משוואות יש גם סיכוי שערכי המשתנים יהיו בעלי ערך שלילי. במצב כזה, כשיתקבל משתנה של מתח שלילי, המשמעות היא שהפוטנציאל בנקודה הנבדקת נמוך מאפס וולט (נקודת הייחוס).
ידיעת המתחים בצמתים השונים תאפשר לנו לחשב זרמים ובכך את שאר הנתונים במעגל.
תרגיל זה שתואר, מפרט את העיקרון שעליו בנויה שיטת מתחי צמתים. בפועל, אין אנו משתמשים בדרך זו, יש דרך מקוצרת לרישום משוואות באמצעות שיטת מתחי צמתים. רישום המשוואות בדרך זו נעשה טכני ומאפשר כתיבה של משוואות בצורה מקוצרת. את הצגת המשוואות אפשר להציג במערכת משוואות או בצורה מטריציאלית.