7.5.4 שטף חשמלי וחוק גאוס
(Electric flow and Gauss's Law)
חוק גאוס הוא חוק יסודי באלקטרוסטטיקה, הוא מציג את הקשר בין השדה החשמלי לבין התפלגות מטענים חשמליים.
החוק נוסח על ידי קרל פרידריך גאוס בשנת 1825, ופורסם ב-1867. מעוניינים לדעת מי היה גאוס? - לחצו כאן
נתייחס לחוק גאוס, כשהמעטפת הנדונה היא קבל טעון, בין לוחותיו קיים שדה חשמלי. עצמת השדה החשמלי מתוארת באופן חזותי באמצעות קווי שדה חשמלי. ככל שעצמת השדה חזקה יותר, כן יופיעו יותר קווים ומאחר ששטח לוחות הקבל קבוע, צפיפות הקווים תהיה גבוהה יותר. שטף חשמלי מוגדר כמספר הכללי של קווי השדה החודרים ("שוטפים") פיסת שטח הניצב לכיוון השדה, כמתואר באיור 7.28. את השטף החשמלי מסמנים באות
(האות נקראת בעברית "פסי"),
כשצפיפות קווי השדה מתוארת על ידי היחס בין מספר קווי השדה החותכים פיסת שטח
(צפיפות זו פרופורציונית ומצויה ביחס לעצמת השדה) לבין השטח המדובר.
איור 7.28: קווי שטף חשמלי העוברים דרך יחידת שטח ובניצב לשטח זה
את היחס הזה אפשר לבטא בצורה מתמטית, כך :
כאשר:
זוהי הנגזרת של
השטף החשמלי לפי השטח. או במילים אחרות, מספר קווי השטף הקיימים ביחידת שטח קטנה
מאוד (שואפת לאפס).ואילו
שבאגף ימין הוא ביטוי
לעצמת השדה החשמלי כתוצאה מהימצאות מטען יחיד, כאשר התווך הוא אוויר. נתאר מטען יחיד המצוי במרכזו של כדור חלול. בדוגמה זו, r מהווה את הרדיוס הכדור העוטף את המטען (המרחק לכל נקודה על המעטפת).
את השטף החשמלי
היוצא מן המטען אפשר להגדיר
כמספר קווי השדה החודרים כדור דמיוני המקיף את המטען. שטח פני הכדור (המעטפת)
הדמיוני:
את השטף החשמלי נבטא כתלות בעצמת השדה ובשטח שהקווים חודרים אותו:
שימו לב! השטף החשמלי אינו תלוי ברדיוס הכדור (כלומר במרחק מהמטען), אלא רק במטען עצמו.
מכאן נקבל את חוק גאוס. על פי חוק זה, השטף החשמלי החודר משטח סגור שווה למטען החיובי המוגבל על ידי המשטח, כלומר :
לסיכום: סך השטף החשמלי דרך מעטפת סגורה מצוי ביחס ישר למטען החשמלי הכלוא באותה המעטפת. הביטוי הזה נכון כשפועלים במערכת היחידות הסטנדרטיות כמקובל בקורס זה. אין זה כך כשפועלים במערכת יחידות אחרת.